푸리에 변환

연속 푸리에 변환은 보통 $X(omega)=in{t}_{-infty}^{infty}x(t)e^{-iomegat},dt$ 로 쓴다. 역변환을 이용하면 주파수 영역의 표현에서 원래 신호를 다시 복원할 수 있다. 정규화 상수와 지수 부호는 분야와 관례에 따라 조금씩 다를 수 있지만, 핵심은 시간 영역의 함수를 주파수 축으로 옮기는 데 있다.^[1]

이 정의를 읽을 때는 $x(t)$가 시간에 따른 값이고, $X(omega)$가 주파수 성분의 분포라는 점을 함께 기억해야 한다. 즉, 하나의 파형을 시간과 주파수라는 서로 다른 축에서 바라보는 것이 푸리에 변환의 핵심이다.

주기 함수는 푸리에 급수로 이산적인 주파수 성분의 합으로 나타내기 쉽다. 푸리에 변환은 이 생각을 비주기 신호까지 넓혀서 연속적인 스펙트럼으로 다룰 수 있게 한다.^[1] 그래서 푸리에 변환은 푸리에 급수를 이해한 뒤에 보면 더 자연스러워진다.

이 관계를 받아들이면, 복잡한 신호도 결국 여러 개의 단순한 사인파 성분으로 설명될 수 있다는 점이 분명해진다. 주파수 성분을 하나씩 읽어 나가면 파형의 구조를 훨씬 세밀하게 해석할 수 있다.

푸리에 변환은 선형성을 가지며, 시간 이동은 위상 변화로, 주파수 이동은 스펙트럼의 이동으로 나타난다. 또한 시간 영역의 곱셈은 주파수 영역의 컨볼루션과 연결되고, 반대로 시간 영역의 컨볼루션은 주파수 영역의 곱셈으로 바뀐다. 이 성질 때문에 복잡한 연산을 더 단순한 형태로 바꾸어 해석할 수 있다.^[1]

이런 성질은 공학수학에서 다루는 변환 기법의 전형적인 장점과도 닮아 있다. 실제 문제에서는 계산을 줄이는 것뿐 아니라, 신호의 구조를 보존한 채 어떤 성분이 어디에 들어 있는지 분해해 보는 데 의미가 있다.

실제 계산에서는 연속 적분 정의를 그대로 쓰기보다, 신호를 이산화한 뒤 빠른 푸리에 변환을 이용하는 경우가 많다. 이때는 선형대수학과 공학수학에서 익히는 행렬, 기저, 직교성 개념이 계산 구조를 이해하는 데 도움을 준다.^[1]

또한 실무에서는 스펙트럼의 크기만 보지 않고 위상 정보도 함께 본다. 같은 주파수 성분이라도 위상이 다르면 시간 영역의 파형이 달라지므로, 푸리에 변환은 신호를 구성하는 성분의 세기와 배치를 함께 읽게 해 준다.^[1]

신호 처리와 디지털신호처리에서는 필터 설계, 잡음 제거, 대역 분리에 푸리에 변환이 널리 쓰인다.^[2] 이미지에서는 밝기가 천천히 바뀌는 부분이 저주파 성분, 윤곽선과 세부 질감이 고주파 성분에 해당하므로, 저역 통과 필터와 고역 통과 필터로 흐림과 선명도를 조절할 수 있다.^[2]

이 원리는 음향과 통신에도 그대로 이어진다. 파동과 사인파를 주파수 관점에서 읽으면, 어떤 성분이 강조되고 어떤 성분이 약해지는지 정량적으로 살필 수 있다.^[2]

• 사인파
• 파동
• 신호 처리
• 디지털신호처리
• 공학수학
• 선형대수학

^[1] Erik Cheever, "Introduction to the Fourier Transform", Swarthmore College. Llpsa.swarthmore.edu(새 탭에서 열림)

^[2] "16 Fourier Analysis - Foundations of Computer Vision", MIT. Vvisionbook.mit.edu(새 탭에서 열림)