나비에-스토크스 방정식은 점성을 가진 유체의 운동량 보존을 나타내며, 뉴턴의 운동 법칙을 유체에 적용한 방정식이다. 유체의 속도와 압력이 시간과 공간에 따라 어떻게 변하는지 기술한다.[1][5]
1. 개요
2. 비압축성 방정식의 구성
비압축성 뉴턴 유체의 나비에-스토크스 방정식은 질량 보존을 나타내는 연속방정식, 운동량 보존을 나타내는 운동량 방정식, 그리고 뉴턴 유체의 구성법칙을 결합해 유도된다. 뉴턴 유체라는 조건은 점성에 따른 내부 마찰을 속도 변화와 연결해 운동량 방정식에 반영한다.[7]
밀도가 일정한 비압축성 흐름에서는 연속방정식이 속도장의 발산이 0이라는 조건으로 단순화된다. 이는 유체가 각 지점에 축적되거나 사라지지 않는다는 조건을 나타낸다.[7]
운동량 방정식은 유체의 가속도를 압력에 따른 표면력, 점성에 따른 내부 마찰력, 체적력과 연결한다. 비압축성 흐름에서는 질량 보존을 나타내는 연속방정식의 조건과 운동량 방정식을 함께 다뤄 속도와 압력의 관계를 설명한다.[7]
3. 유체에 작용하는 힘과 운동
운동량 방정식의 좌변은 유체 입자가 시간에 따라 가속하는 정도와 흐름을 따라 속도가 달라지는 효과를 나타낸다. 우변에는 압력과 점성, 외력 또는 체적력처럼 유체의 운동을 바꾸는 힘이 들어간다.[1][7]
압력에 따른 표면력은 압력 구배로 표현되고, 점성은 속도 구배에서 생기는 유체 내부의 마찰력으로 작용한다. 중력은 물리적 접촉 없이 유체 전체에 분포해 작용하는 체적력의 한 사례다.[1][7]
이 힘들의 균형은 유체의 흐름이 빨라지거나 방향을 바꾸는 방식과 관련된다. 압력, 점성, 외력이 유체의 가속도를 결정한다는 관점은 방정식을 뉴턴의 운동 법칙과 연결해 이해하게 해 준다.[1][5]
4. 수치해석과 난류 계산
실제 상황에서는 나비에-스토크스 방정식을 손으로 풀기 어려워 컴퓨터로 근삿값을 계산하는 전산유체역학이 활용된다. 이 방정식의 수치해를 얻는 데는 많은 계산이 필요하며, 실제 문제에서는 근사 계산이 사용된다.[4][5]
난류의 모든 규모를 직접 계산하는 직접수치모사(DNS)는 계산 비용이 매우 크다. 난류의 통계적 평균 거동을 계산하는 RANS와 큰 소용돌이는 직접 계산하고 작은 소용돌이는 모델링하는 LES 같은 근사 기법이 실제 계산에 널리 쓰인다.[5]
이 방정식을 실제로 계산할 때는 난류의 규모를 모두 직접 계산할지, 일부를 모델링할지에 따라 접근법이 달라진다. DNS는 모든 규모를 직접 계산하며, RANS는 난류의 통계적 평균 거동을 계산하고 LES는 큰 소용돌이를 직접 계산해 작은 소용돌이를 모델링한다. 기법에 따라 계산 비용과 정확도가 달라진다.[5]
5. 응용 분야
나비에-스토크스 방정식은 대기와 해양의 흐름을 기술하는 날씨 모델과 해류 모델에 쓰인다. 생체 내 혈류의 흐름과 비행기 날개 주변의 유동을 분석하는 데도 활용된다.[1][5]
유체와 구조물의 상호작용을 다루는 연구에서는 유동 해석 프로그램과 구조 해석 프로그램을 연계한다. 관련 연구는 압축성 및 비압축성 유체-구조 연계 해석 프로그램을 개발하고, 난류 유동과 구조적 비선형성을 함께 고려하는 것을 목표로 삼기도 한다.[3]
이러한 응용은 유체-구조 연계 해석처럼 유체의 흐름과 구조물의 반응을 함께 다루는 문제로 이어진다. 날씨, 해류, 혈류, 항공기 주변의 흐름은 서로 다른 대상이지만, 유체의 운동을 기술한다는 공통점이 있다.[1][3]
6. 해의 매끄러움 문제
7. 관련 문서
- 전산유체역학
- 층류와 난류
- 유체-구조 연계 해석