유클리드 기하학은 고대 그리스 수학자 유클리드가 《원론》에서 정리한, 평평한 평면과 공간에서 성립하는 기하학 체계다. 몇 가지 공준을 출발점으로 삼고 논리적 추론을 거쳐 도형의 성질을 증명한다. 학교 수학에서 특별한 설명 없이 ‘기하’라고 부르는 체계도 대체로 유클리드 기하학을 가리킨다.[3]
1. 개요
2. 《원론》의 구성과 수학 내용
3. 정의와 공리에서 증명으로
《원론》 제1권은 용어의 정의와 기하학의 다섯 공준, 수학 전반에 적용되는 다섯 공통 관념을 출발점으로 삼는다. 예컨대 공통 관념에는 “같은 것과 같은 것은 서로 같다”와 “전체는 부분보다 크다”가 포함된다.[3]
이 전제들에서 논리적으로 복잡한 정리를 단계적으로 끌어내는 방식이 연역적 구성이다. 한 명제를 증명할 때 앞서 받아들인 전제와 이미 증명한 결과를 사용하므로, 논증의 각 단계가 앞 단계와 연결된다.[4][5]
현대 수학에서는 점·선·면을 더 기본적인 말로 정의하지 않는 무정의 용어로 두고, 이들 사이의 관계를 공리로 규정하기도 한다. 이는 ‘점’을 다시 다른 용어로 설명하려 할 때 정의가 끝없이 이어질 수 있다는 문제를 피하는 방법이다.[3]
4. 유클리드 기하학의 정리와 적용 범위
평행선 공준에 의존하지 않는 정리에는 맞꼭지각의 성질과 삼각형의 합동 조건이 있다. 반면 삼각형 내각의 합이 180도라는 성질과 피타고라스 정리는 평행선 공준에 의존한다.[3] 따라서 평행선 공준은 익숙한 여러 기하 명제의 성립 조건과 연결되어 있다.[6]
평평한 평면에서 성립하는 성질이 휘어진 공간에서도 그대로 유지되는 것은 아니다. 구면에서는 삼각형 내각의 합이 평면의 경우와 달라질 수 있고, 구면인 지구를 평면 지도로 옮길 때에도 왜곡이 생긴다.[3] 이런 차이를 살피면 유클리드 기하학의 적용 범위와 비유클리드 기하학의 문제를 함께 이해할 수 있다.[6]
5. 유클리드의 영향과 저작의 전승
6. 관련 문서
- 원론
- 평행선 공준
- 비유클리드 기하학