선형변환은 한 벡터공간의 벡터를 다른 벡터공간의 벡터로 보내면서 벡터의 덧셈과 스칼라배를 보존하는 함수다. 입력을 먼저 더한 뒤 변환한 결과와 각 벡터를 변환한 뒤 더한 결과가 같고, 벡터를 먼저 일정한 수만큼 늘린 뒤 변환한 결과도 변환한 뒤 같은 수만큼 늘린 결과와 같다.[2][7]
1. 개요
2. 선형변환의 정의와 성질
3. 행렬 표현과 기저벡터
4. 기하학적 변환의 사례
5. 상과 핵 및 변환의 기하적 효과
선형변환의 핵은 영벡터로 보내지는 입력 벡터들의 집합이고, 상은 변환을 통해 얻을 수 있는 출력 벡터들의 집합이다. 두 개념은 변환이 입력 공간의 어느 부분을 영벡터로 보내고, 출력 공간의 어느 부분에 도달하는지 나타낸다.[3]
평면의 두 표준기저 벡터가 선형 종속인 결과로 변환되면, 두 방향이 같은 직선에 놓일 수 있다. 이때 평면의 격자 정보가 한 직선으로 뭉개져 변환된 벡터들은 그 직선 위에 놓인다.[5]
행렬식은 일부 기하적 효과를 요약한다. 제시된 예에서 양의 행렬식은 방향 보존, 음의 행렬식은 방향 반전을 나타내며, 행렬식의 절댓값은 길이·넓이·부피의 배율과 연결된다. 그러나 행렬식만으로 변환된 도형의 정확한 모양이나 회전을 알 수는 없다.[4]