복소평면

예를 들어 $3+4i$는 실수축 방향으로 3, 허수축 방향으로 4만큼 떨어진 점에 해당한다. 이 점은 원점에서의 거리와 방향으로도 나타낼 수 있어, 복소수의 좌표 표현과 기하학적 성질을 함께 이해할 수 있다.^[5][6]

복소평면은 가우스 평면 또는 아르강 도표라고도 불린다. 복소수의 덧셈은 벡터의 합으로, 곱셈은 회전과 크기 변화로 해석할 수 있어 대수적 연산을 평면 기하와 연결한다.^[2][3][7]

복소수 $z=a+bi$에서 실수부 $a$는 점의 좌우 위치를, 허수부 $b$는 상하 위치를 나타낸다. 따라서 $z$는 복소평면에서 $(a,b)$라는 좌표를 갖는다. 이를 벡터로 보면 원점에서 해당 점까지 향하는 화살표로 나타낼 수 있다.^[3][5][7]

예를 들어 $3+4i$는 실수축 방향으로 3, 허수축 방향으로 4만큼 이동한 점이다. 허수부가 0이면 점은 실수축 위에 놓이고, 실수부가 0인 순허수는 허수축 위에 놓인다.^[5][6][7]

복소수의 덧셈은 대응하는 두 벡터의 합이다. 두 화살표를 이어 붙이거나 평행사변형을 그리면 합에 해당하는 대각선을 얻는다. 따라서 $z$에 $w$를 더하는 것은 점 $z$를 $w$만큼 평행이동시키는 것으로 볼 수 있다.^[3][5][7]

복소수 $z_1-z_2$는 점 $z_2$에서 점 $z_1$로 향하는 벡터를 나타낸다. 그 절댓값 $|z_1-z_2|$은 두 점 사이의 거리이므로, 복소수의 뺄셈으로 위치 차이를 길이와 방향으로 함께 표현할 수 있다.^[3][5]

복소수는 원점에서의 거리 $r$과 양의 실수축에서 잰 방향각 $\theta$로 나타낼 수 있다. 이때 직교좌표가 $(x,y)$라면 크기는 피타고라스 정리에 따라 $\sqrt{x^2+y^2}$로 구한다. 방향각을 구할 때는 점이 놓인 사분면도 고려해야 한다.^[1][5]

극좌표에서 직교좌표로 바꾸면 실수부는 $r\cos \theta$, 허수부는 $r\sin \theta$가 된다. 반대로 $x,y$에서 각을 구할 때 단순히 $y/x$의 아크탄젠트만 사용하면 사분면을 구분하지 못할 수 있으므로, 사분면을 반영하는 각도 계산이 필요하다.^[1][4]

크기가 $r$, 편각이 $\theta$인 복소수를 곱하면 점은 원점을 중심으로 $\theta$만큼 회전하고 길이는 $r$배가 된다. 복소수의 곱셈은 이처럼 회전과 크기 변화를 결합한 평면 변환으로 해석할 수 있다.^[4]

원점이 아닌 점을 중심으로 회전할 때는 회전 중심을 원점으로 옮긴 뒤 회전하고, 결과를 다시 원래 위치로 되돌릴 수 있다. 이 절차를 통해 복소수 곱셈의 회전 해석을 평면의 여러 점을 기준으로 하는 변환에도 적용할 수 있다.^[4]

• 복소수
• 벡터의 덧셈
• 극형식
• 회전

^[1] Cccrma.stanford.edu(새 탭에서 열림)

^[2] Wwww.koreascience.or.kr(새 탭에서 열림)

^[3] Ggongbaek.wiki(새 탭에서 열림)

^[4] Ssimplewoody.com(새 탭에서 열림)

^[5] Wwww.reportworld.co.kr(새 탭에서 열림)

^[6] Wwww.mathsisfun.com(새 탭에서 열림)

^[7] Uunisquads.io(새 탭에서 열림)