구면 좌표계

흔히 반지름 거리와 극각, 방위각을 사용하지만, 각도 기호와 정의는 분야나 교재에 따라 달라진다. 따라서 좌표값을 읽거나 다른 규약의 식에 대입할 때는 어떤 축에서 각도를 재는지 확인해야 한다.^[4][6]

기상학에서는 경도·위도·고도를 좌표로 쓰는 구면 좌표 표현을 다룬다. 이때 지구 중심에서의 거리와 지구 반지름을 고려하며, 대기의 두께가 지구 반지름보다 훨씬 작다는 조건에서 근사하기도 한다.^[1]

물리학·ISO 규약에서는 반지름 거리를 $r$, $+z$축에서 잰 극각을 $\theta$, $xy$평면에서 $+x$축을 기준으로 잰 방위각을 $\varphi$로 둔다. 이 규약에서 극각은 $0^{\circ }$부터 $180^{\circ }$까지이고, 방위각은 자료에 따라 $-180^{\circ }$부터 $180^{\circ }$ 등의 범위로 나타낸다.^[5][6]

일부 미적분 자료는 $\theta$를 방위각, $\varphi$를 극각으로 정의한다. 같은 점을 가리키더라도 각도 기호가 서로 바뀔 수 있으므로, 두 자료의 값을 비교할 때는 기호만 보지 말고 각도가 기준으로 삼는 축과 평면을 확인해야 한다.^[2][4][6]

물리학·ISO 규약에서 구면좌표 $(r,\theta ,\varphi )$를 직교좌표계로 바꾸면 $x=r\sin \theta \cos \varphi$, $y=r\sin \theta \sin \varphi$, $z=r\cos \theta$가 된다. 이는 반지름의 $xy$평면 투영을 방위각에 따라 $x$와 $y$로 나누고, $z$ 성분은 극각으로 정하는 방식이다.^[4][6]

반대로 직교좌표 $(x,y,z)$에서는 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $\varphi =atan2(y,x)$, $\theta =\arccos (z/r)$로 구할 수 있다. 예를 들어 $(1,1,1)$은 $r=\sqrt{3}$, 방위각 $45^{\circ }$, 극각 약 $54.74^{\circ }$에 해당한다.^[5][6]

미적분 교재의 각도 규약에서 $r=5$, 방위각 $\theta =60^{\circ }$, 극각 $\varphi =30^{\circ }$인 점은 직교좌표로 약 $(1.25,2.17,4.33)$이다. 이 변환은 먼저 수직 성분 $r\cos \varphi$를 구하고, 수평 투영 $r\sin \varphi$를 방위각에 따라 나누어 얻는다.^[4]

반지름 $r$을 5로 고정하고 두 각도를 바꾸면 원점에서 항상 거리 5인 점들이 놓이므로, 그 점들의 자취는 원점을 중심으로 하는 반지름 5의 구면이다. 각도 하나를 고정한 자취는 각도의 정의에 따라 달라지며, 극각 $\varphi =\pi /3$을 고정하면 $+z$축과 일정한 각을 이루는 원뿔이 된다.^[2]

구면좌표는 구형 대상을 다루는 데 유용하고, 원통좌표계나 직교좌표계와의 변환에도 쓰인다. 원통좌표는 $z$축까지의 수평 거리와 방위각에 높이를 더해 나타내며, $z=0$인 평면에서는 구면좌표의 반지름과 원통좌표의 수평 거리가 같아진다.^[3][6]

기상학의 구면 좌표 표현에서는 $r$을 지구 중심에서의 거리로 보고 지구 반지름과의 관계를 고려한다. 대기의 두께가 지구 반지름보다 훨씬 작을 때는 그 비율에 관한 근사를 사용하기도 한다.^[1]

구면좌표계의 단위 벡터는 위치에 따라 방향이 달라진다. 따라서 직교좌표계의 단위 벡터와 같은 방식으로 취급할 수 없으며, 속도 벡터 등도 구면좌표의 위치별 방향을 고려해 나타낸다.^[1]

• 직교좌표계와 구면좌표계 사이의 변환
• 구면좌표계와 원통좌표계
• 구면좌표로 표현한 두 벡터 사이의 각도 계산

^[1] Ddata.kma.go.kr(새 탭에서 열림)

^[2] Ttutorial.math.lamar.edu(새 탭에서 열림)

^[3] Ttutorial.math.lamar.edu(새 탭에서 열림)

^[4] Ccalculatorlib.com(새 탭에서 열림)

^[5] Ccalculatorlib.com(새 탭에서 열림)

^[6] Ddogus.co.kr(새 탭에서 열림)