스칼라 곱은 두 벡터를 입력받아 스칼라를 출력하는 연산이다. 벡터 사이에 점 기호를 써서 나타내므로 내적 또는 점곱이라고도 한다.[6] 예를 들어 두 벡터를 A와 B로 쓰면 연산을 A·B로 나타낸다.

1. 개요

내적은 벡터의 성분을 곱해 더하거나, 두 벡터의 크기와 사이각의 코사인을 곱해 계산할 수 있다.[2][6] 두 식은 같은 내적을 나타낸다.

이 연산은 벡터의 크기와 벡터 사이각을 연결하고, 물리학에서는 일을 계산하는 데 쓰인다.[4][5] 내적의 값이 0이면 두 벡터는 수직이다.[6]

2. 성분을 이용한 계산

3차원 벡터의 성분을 A = (Ax, Ay, Az), B = (Bx, By, Bz)로 나타내면, 대응하는 성분끼리 곱한 뒤 모두 더해 내적을 구한다. 따라서 A·B = AxBx + AyBy + AzBz이다.[2][6]

좌표축 방향을 나타내는 단위벡터와의 내적은 그 축 방향 성분을 골라낸다. 예를 들어 A·î = Ax, A·ĵ = Ay, A·k̂ = Az이므로, 단위벡터와 내적을 하면 해당 축 성분을 얻는다.[2]

3. 크기와 사이각을 이용한 계산

두 벡터 A와 B의 크기와 그 사이각 θ를 알면 A·B = |A||B|cos θ로 계산할 수 있다. 여기서 θ는 두 벡터 사이의 각도이다.[6]

같은 관계를 정리하면 cos θ = (A·B)/(|A||B|)이므로, 내적과 두 벡터의 크기로 사이각을 구할 수 있다.[4][5]

4. 수직과 평행의 판정

두 벡터가 수직이면 사이각의 코사인이 0이므로 내적도 0이다.[4][6]

두 벡터가 평행이면 사이각은 0도 또는 180도이며, 내적의 절댓값은 두 벡터 크기의 곱과 같다. 내적 공식은 이처럼 두 벡터의 크기와 사이각을 연결해 수직과 평행 관계를 구별하는 데 쓰인다.[6]

5. 물리적 활용

물리학에서 일은 힘 벡터와 변위 벡터의 내적으로 계산할 수 있다.[2][5] OpenStax의 컨베이어 벨트 예제에서는 힘과 변위의 각 성분을 곱해 더해 일을 계산한다.[2]

예제에서는 힘과 변위를 3차원 성분으로 나타내고 대응 성분의 곱을 더해 −98.7 N·cm를 얻는다.[2] 이 계산은 성분을 이용한 내적이 힘과 변위의 관계를 나타내는 물리량을 구하는 데 쓰임을 보여준다.

6. 관련 문서

7. 인용 및 각주

[1] Oopenstax.org(새 탭에서 열림)

[2] Oopenstax.org(새 탭에서 열림)

[4] Ssimplewoody.com(새 탭에서 열림)

[5] Ssimplewoody.com(새 탭에서 열림)

[6] Wwww.savemyexams.com(새 탭에서 열림)