다면체

다면체를 이루는 기본 요소는 면, 모서리, 꼭짓점이다. 이 요소들이 어떻게 배치되는지 살펴보면 단순한 삼각뿔부터 여러 정다면체 사이의 관계까지 이해할 수 있다.^[4][5]

정다면체는 합동인 정다각형 면으로 이루어지고 꼭짓점마다 모이는 면의 수가 같은 볼록 다면체다. 정육면체와 정팔면체처럼 서로 쌍대 관계인 도형이 있으며, 정이십면체를 깎아 만든 형태는 정오각형과 정육각형이 함께 있는 축구공의 사례로 소개된다.^[1][5][8]

다면체는 유한한 수의 평평한 다각형 면이 모여 닫힌 입체의 경계를 이루는 도형이다. 두 면이 만나는 선분은 모서리이고, 세 개 이상의 면이 만나는 점은 꼭짓점이다.^[6]

삼각뿔은 네 개의 삼각형 면으로 둘러싸인 간단한 다면체다. 면은 4개, 모서리는 6개, 꼭짓점은 4개이며, 사면체라고도 불린다.^[2][4]

다면체는 면의 수와 모양, 배열 방식에 따라 여러 유형으로 분류되며, 그 예로 정다면체, 각기둥, 각뿔이 있다. 정다면체는 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모이는 면의 수가 같은 볼록 다면체다.^[5][6]

볼록 정다면체는 다섯 종류다. 정사면체는 정삼각형 네 개, 정육면체는 정사각형 여섯 개, 정팔면체는 정삼각형 여덟 개, 정십이면체는 정오각형 열두 개, 정이십면체는 정삼각형 스무 개로 이루어진다.^[1][5]

정다각형 면을 꼭짓점에서 이어 붙일 때는 면들의 각도 합이 360도보다 작아야 입체가 솟아오를 수 있다. 정삼각형은 꼭짓점에 세 개, 네 개 또는 다섯 개가 모일 수 있어 정다면체를 이루는 면으로 쓰인다.^[3]

정사각형은 세 개가 한 꼭짓점에 모여 정육면체를 이루고, 정오각형도 세 개가 모여 정십이면체를 이룬다. 정육각형은 세 개만 모여도 각도 합이 360도가 되며, 그보다 변이 많은 정다각형은 세 개가 모이면 합이 360도를 넘으므로 볼록 정다면체의 면이 될 수 없다.^[3]

볼록 다면체에서는 꼭짓점 수에서 모서리 수를 뺀 뒤 면의 수를 더하면 2가 된다. 이 관계는 면·모서리·꼭짓점의 수를 연결하는 오일러 지표로 알려져 있다.^[5][9]

쌍대 다면체에서는 한 도형의 꼭짓점과 면이 서로 대응하고, 모서리 수는 같다. 정육면체와 정팔면체는 서로 쌍대이며, 각 면의 중심을 연결하면 상대 도형의 형태가 만들어진다. 정사면체는 꼭짓점과 면을 대응시켜도 같은 형태가 되는 자기 쌍대 다면체다.^[1][8]

정이십면체의 꼭짓점들을 깎으면, 원래 정삼각형 면들이 정육각형으로 바뀌고 깎인 꼭짓점 자리에는 정오각형이 생긴다. 이렇게 얻는 깎은 정이십면체는 정오각형과 정육각형으로 이루어져 축구공과 닮은 형태를 보인다.^[1][3]

정육각형 면은 공간 활용도가 높은 형태로 소개되며, 깎은 정이십면체는 구에 가까운 모양과 축구공 재료인 가죽을 경제적으로 쓰는 사례로 설명된다.^[1] 다면체는 건축물·포장재·게임 모델과 3D 모델링에 활용되고, 분자의 구조를 나타내는 기하학적 모델로도 쓰인다.^[6]

• 정다면체
• 삼각뿔
• 쌍대 다면체

^[1] Wwww.cbnse.go.kr(새 탭에서 열림)

^[2] Wwww.geogebra.org(새 탭에서 열림)

^[3] Kkosen.kr(새 탭에서 열림)

^[4] Uunisquads.io(새 탭에서 열림)

^[5] Uunisquads.io(새 탭에서 열림)

^[6] Uunisquads.io(새 탭에서 열림)

^[8] Uunisquads.io(새 탭에서 열림)

^[9] Rreadonly.wiki(새 탭에서 열림)