미분법

함수 y=f(x)에서 x=a와 x=a+h 사이의 평균 변화율은 (f(a+h)-f(a))/h이다. h를 0에 가깝게 보냈을 때 값이 하나로 다가가면 그 극한을 a에서의 순간 변화율, 곧 도함수 f'(a)라고 한다. 기하학적으로 두 점을 잇는 할선의 기울기가 한 점에서 곡선에 접하는 접선의 기울기로 가까워지는 과정이다.^[1]

도함수 f'(x)는 각 점의 순간 변화율을 모은 새 함수다. 위치를 시간에 대한 함수로 나타내면 도함수는 순간 속도가 되고, 속도를 다시 미분하면 가속도가 된다. 따라서 미분은 식을 짧게 바꾸는 요령에 그치지 않고, 한 양이 다른 양에 따라 얼마나 민감하게 변하는지를 측정한다. 유한 시간 구간의 평균 변화율과 특정 순간의 변화율은 연결되지만 서로 같은 양은 아니다.^[1]

상수 c의 도함수는 0이고, 양의 정수 n에 대해 xⁿ의 도함수는 n xⁿ⁻¹이다. 예를 들어 x³은 3x²가 된다. 상수배는 그대로 유지하고 합이나 차는 각 항을 따로 미분한다. 따라서 다항식은 항별 계산으로 미분할 수 있다. 이 기본 규칙들은 미분의 정의에서 매번 극한을 계산하는 과정을 반복 가능한 계산으로 바꾼다.^[2][3]

계산할 때는 지수 n을 앞으로 곱하고 지수를 하나 낮추며, 원래의 상수배를 보존한다. 이 규칙의 기본형은 정수 지수의 다항식에 적용한다. 음수·분수 지수나 정의역 경계가 있는 함수는 해당 함수가 정의되고 미분 가능한 범위인지 살펴야 한다. 공식을 기계적으로 적용하기보다 입력 범위와 함수의 형태를 함께 확인한다.^[2]

두 함수 u(x), v(x)의 곱의 도함수는 u'v+uv'이다. 두 인자가 함께 변할 때 한쪽의 변화가 다른 쪽의 현재 크기와 곱해지는 효과를 각각 더한다. 예를 들어 x² sin x의 도함수는 2x sin x+x² cos x이다. 곱을 각 도함수의 곱으로 바꾸면 일반적으로 틀린다.^[3]

v(x)가 0이 아닌 곳에서 u/v의 도함수는 (u'v-uv')/v²이다. 분모의 도함수 항 앞의 마이너스와 분모의 제곱이 흔한 실수 지점이다. 약분하거나 거듭제곱으로 다시 써 기본 규칙을 적용하는 편이 간단할 때도 있으므로 식의 구조와 정의역을 먼저 살핀다. 곱과 몫은 각각 다른 규칙이며 식에서 어떤 연산이 중심인지가 선택을 결정한다.^[3]

한 함수의 결과를 다른 함수에 넣은 합성 함수 y=f(g(x))의 도함수는 f'(g(x))g'(x)이다. 바깥 함수를 먼저 미분하되 안쪽 식은 그대로 두고, 안쪽 함수의 도함수를 곱한다. 예를 들어 (3x+1)⁴은 4(3x+1)³에 안쪽 도함수 3을 곱해 12(3x+1)³이 된다. 안쪽 변화가 바깥 함수의 입력을 바꾸는 효과까지 반영하는 규칙이다.^[2][3]

여러 겹으로 중첩된 식은 바깥에서 안쪽으로 반복 적용한다. 괄호 단위로 함수 층을 표시하면 안쪽 도함수를 빠뜨리는 실수를 줄일 수 있다. 연쇄법칙은 합성 구조를 다루고 곱의 규칙은 두 함수의 곱을 다룬다. 한 식에 두 구조가 모두 있으면 두 규칙을 함께 적용한다.^[3]

라디안 단위에서 sin x의 도함수는 cos x이고, cos x의 도함수는 -sin x이다. eˣ는 자기 자신과 같은 도함수를 가지며 ln x의 도함수는 1/x이다. 이런 기본 함수의 도함수를 알고 있으면 복잡한 식도 구성에 따라 분해할 수 있다. 함수 안에 다른 식이 들어 있으면 기본 도함수만으로 끝나지 않고 연쇄법칙을 더 적용한다.^[3]

위의 삼각함수 공식은 각도를 라디안으로 잴 때 성립한다. 도 단위를 쓰면 단위 변환에 따른 계수가 들어가므로 입력 단위를 확인해야 한다. ln x는 실수 범위에서 x>0일 때 정의되므로 도함수 역시 그 범위에서 해석한다. 정의역과 단위는 계산 뒤 붙이는 주석이 아니라 공식의 적용 조건이다.^[3]

복잡한 식은 먼저 모양을 읽는다. 합·차는 항별로, 곱은 곱의 규칙으로, 나눗셈은 몫의 규칙으로, 한 식이 다른 식 안에 들어가면 연쇄법칙으로 미분한다. 구조가 겹치면 규칙도 겹쳐 쓴다. 계산 결과는 간단한 값을 대입해 부호와 크기를 점검하거나 동치인 식으로 정리해 확인할 수 있다.^[2][3]

도함수의 부호는 함수가 증가하거나 감소하는 구간을 살피는 데 쓰이며, 도함수가 0인 점은 극값 후보가 될 수 있다. 이는 최적화에서 비용이나 이익의 극값을 찾는 출발점이고, 미분방정식은 함수와 그 도함수 사이의 관계를 식으로 다루는 분야다. 그러나 도함수가 0이라는 사실만으로 최댓값이나 최솟값이라고 단정할 수는 없다. 구간 끝과 미분 불가능한 점, 도함수 부호 변화 등 추가 조건을 확인해야 한다.^[1][2]

• 미적분학
• 극한
• 적분
• 미분방정식

^[1] OpenStax, Calculus Volume 1, The Derivative, Oopenstax.org(새 탭에서 열림)

^[2] LibreTexts, Calculus for Scientists I, Techniques of Differentiation, Mmath.libretexts.org(새 탭에서 열림)

^[3] OpenStax, Calculus Volume 1, Differentiation Rules, Oopenstax.org(새 탭에서 열림)